ارتعاش آزاد ورق نازک ناهمسان در ضخامت به روش نوار محدود دقیق

در این مقاله، روش نوار محدود دقیق برای حل ارتعاش آزاد ورق‌های مستطیلی نازک ناهمسان در ضخامت تحت نیروهای درون‌صفحه توسعه داده می‌شود. بدین منظور در ابتدا به‌جای استفاده از تار میانی، از تار دیگری برای بسط معادلات دیفرانسیل حاکم بر ورق نازک مبتنی بر نظریه کلاسیک ورق استفاده می‌شود؛ به گونه‌ای که معادلات درون‌صفحه و برون‌صفحه از هم مستقل شده و به‌صورت غیردرگیر باشند. سپس روش نوار محدود دقیق برای حل معادلات دیفرانسیل غیردرگیر در شرایطی که دو لبه موازی ورق مفصلی است، توسعه داده می‌شود. در این روش هر ورق چنددهانه، به تعداد اندکی نوار محدود تقسیم می‌شود. تابع شکل هر نوار محدود، در راستای عمود بر لبه‌های مفصلی، به شکل سینوسی در نظر گرفته شده؛ و تابع شکل در جهت دیگر از حل تحلیلی معادله دیفرانسیل حاکم بر ارتعاش آزاد ورق ناهمسان در ضخامت استخراج می‌شود. بدین صورت درایه‌های ماتریس سختی دقیق هر نوار محدود، تابعی ضمنی از فرکانس‌های طبیعی، نیروهای درون‌صفحه، و مشخصات هندسی و مصالح ورق حاصل می‌شود. از آنجا که الگوریتم‌های استاندارد مقادیر ویژه قادر به حل ارتعاش آزاد مسئله نیستند؛ با توسعه‌ی الگوریتمی موثر، فرکانس‌های دقیق ارتعاش آزاد ورق از دترمینان ماتریس سختی کل حاصل می‌شود. نتایج به‌دست آمده از این روش با سایر نتایج موجود، مقایسه و صحت آن بررسی می‌شود. در ادامه با ارائه مثال‌هایی، قابلیت این روش در حل مسائل متنوع با تغییر در پارامترهایی همچون شرایط مرزی، تکیه‌گاه‌های میانی، نیروهای درون‌صفحه، نسبت طول به عرض، و توان کسر حجمی بررسی می‌شود. همان‌گونه که انتظار می‌رود با افزایش سختی تکیه‌گاه‌ها و افزایش نیروی کششی درون‌صفحه، فرکانس طبیعی ارتعاش آزاد افزایش می‌یابد. مقادیر فرکانس‌های طبیعی ارتعاش آزاد ورق‌های ناهمسان در ضخامت حاصل از روش نوار محدود دقیق می‌توانند به‌عنوان مرجعی برای بررسی دقت نتایج حاصله از روش‌های عددی ارائه شده توسط سایر محققان به‌کار گرفته شوند. البته نظریه کلاسیک ورق که در این مطالعه مورد استفاده قرار گرفته است، برای ورق‌های نازک معتبر است؛ لذا با افزایش ضخامت ورق، از دقت نتایج در مقایسه با نظریه‌های تغییرشکل برشی کاسته می‌شود.