روشهای عددی در مهندسی

روشهای عددی در مهندسی

غنی­سازی روش نقاط محدود با استفاده از توابع پایه متعادل­شده تکین برای مسائل دارای تکینگی ضعیف

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان
نیما نور محمدی
مهران ابوالقاسمی
دانشکده مهندسی عمران، دانشگاه صنعتی اصفهان، اصفهان
10.47176/jcme.45.1.1081
چکیده
در این مقاله، رویکردی نوین برای بهبود دقت و پایداری روش بدون شبکه نقاط محدود در تحلیل مسائل هارمونیک با به­کارگیری توابع پایه متعادل­شده تکین ارائه می‌شود. هدف این رویکرد، ارتقای توان مدل‌سازی تابع پاسخ در مواضعی است که دارای تکینگی ضعیف بوده و مشتق تابع پاسخ دچار ناپیوستگی موضعی می‌شود. روش نقاط محدود روشی بدون شبکه بر مبنای اعمال فرم قوی معادلات دیفرانسیل بوده و به دلیل استفاده از بسط­های هموار، در مجاورت تکینگی دچار آشفتگی پاسخ و افت کیفیت حل می­شود؛ زیرا چنین بسط­هایی فاقد توانایی بازنمایی جمله‌های غیرهموار هستند. در مقابل، توابع پایه متعادل­شده تکین قابلیت بازسازی جملات غنی­کننده حل با مرتبه متناسب با هندسه مسئله را دارا می­باشند. این توابع از ارضای انتگرال باقی­مانده وزنی صورت همگن معادله دیفرانسیل توسط تبدیلی ویژه با قابلیت بازسازی جملات تکین به دست می­آیند. ویژگی مهم آن­ها قابلیت تشخیص خودکار مرتبه تکینگی مسئله است، بدون آن ­که نیازمند تحلیل یک مسئله معادل در کنار مسئله اصلی، چنان که در روش­های مشابه همچون اجزای محدود توسعه­یافته مرسوم است، باشند. این توابع به سادگی با پایه­های هموار روش نقاط محدود در ضمن عملیات تقریب حداقل مربعات وزن­دار ترکیب می­شوند و از این منظر، درجات آزادی جدیدی به سیستم نهایی حل اضافه نمی­کنند. مقایسه نتایج روش پیشنهادی در مسئله مرسوم موتز نشان­دهنده قابلیت مناسب تقریب و ارتقای آن نسبت به روش نقاط محدود استاندارد است.
کلیدواژه‌ها
هارمونیک
تکینگی ضعیف
توابع پایه متعادل­شده تکین
روش نقاط محدود
غنی‌­سازی
موضوعات

عنوان مقاله English

An enrichment Technique for the Finite Point Method by Equilibrated Singular Basis Functions for Weak Singularities

نویسندگان English

Nima noormohammadi
Mehran Abolghasemi
Department of Civil Engineering, Isfahan University of Technology, Isfahan 84156-83111, Iran
چکیده English

This paper presents a novel approach to improve the accuracy and stability of the finite point method (FPM) in the vicinity of points with weak singularities by incorporating equilibrated singular basis functions (EqSBFs). Singular points play a crucial role in the intensification of the flux field in applied physics. Conventional numerical methods fail to correctly capture the solution function in singular areas due to the usage of smooth basis functions. FPM is a meshfree method based on strong point-wise application of the governing partial differential equation (PDE) along with the boundary conditions, which in its classical form suffers from inconsistency of its polynomial type basis functions with the singular region, leading to accuracy reduction, slow convergence, and local instabilities. To address this issue, EqSBFs are incorporated alongside the conventional smooth basis functions. EqSBFs are derived by the weighted residual imposition of the homogeneous PDE, with the capability of automatically identifying the singularity order of the problem, thus avoiding the solution of a parallel identical problem to extract the required singular terms. EqSBFs may be simply merged with the smooth basis functions of the FPM through the weighted least squares (WLS) approximation. The proposed formulation significantly improves the numerical representation of the singular solution, while maintaining the desirable advantages of the FPM.

کلیدواژه‌ها English

Harmonic
Weak singularity
Equilibrated Singular Basis Functions
Finite Point Method
Enrichment
[1]  Oñate, E., Idelsohn, S., Zienkiewicz, O.C., and Taylor, R.L. A Finite Point Method in Computational Mechanics: Applications to Convective Transport and Fluid Flow. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1996; 39(22): 3839-3866. https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0207(19961130)39:22<3839::AID-NME27>3.0.CO;2-R
[2]  Babuška, I., and Guo, B.Q. The h-p Version of the Finite Element Method for Domains with Corner Singularities, SIAM Journal on Numerical Analysis. 1992; 29(5): 1261-1291.                                https://doi.org/10.1137/0725048
[3]  Melenk, J. M., and Babuška, I. The Partition of Unity Finite Element Method: Basic Theory and Applications. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1996; 139(1-4): 289-314. https://doi.org/10.1016/S0045-7825(96)01087-0
[4]  Belytschko, T., and Black, T. Elastic Crack Growth in Finite Elements with Minimal Remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1999; 45(5): 601-620.
https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0207(19990620)45:5<601::AID-NME598>3.0.CO;2-S
[5]  Moës, N., Dolbow, J., and Belytschko, T. A Finite Element Method for Crack Growth without Remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1999; 46(1): 131-150.
https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0207(19990910)46:1<131::AID-NME726>3.0.CO;2-J
[6]  Strouboulis, T., Copps, K., and Babuška, I. The Generalized Finite Element Method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2000; 190(32-33): 4081-4193.
https://doi.org/10.1016/S0045-7825(01)00188-8
[7]  Sukumar, N., Chopp, D.L., Moës, N., and Belytschko, T. Modeling Holes and Inclusions by Level Sets in the Extended Finite Element Method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2001; 190(46-47): 6183-6200.
https://doi.org/10.1016/S0045-7825(01)00215-8
[8]  Pageau S.S., and Biggers Jr S.B. Enrichment of finite elements with numerical solutions for singular stress fields. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1997; 40(14): 2693-2713.
https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0207(19970730)40:14<2693::AID-NME190>3.0.CO;2-X
[9]  Zhang Q., Babuška I., and Banerjee U. Robustness in stable generalized finite element methods (SGFEM) applied to Poisson problems with crack singularities. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2016; 311: 476-502.
https://doi.org/10.1016/j.cma.2016.08.019
[10] Akhondzadeh S., Khoei A.R., and Broumand P. An efficient enrichment strategy for modeling stress singularities in isotropic composite materials with X-FEM technique. Engineering Fracture Mechanics. 2017; 169: 201-25.
https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2016.11.019
[11] Fries, T.P., and Belytschko, T. The Extended/Generalized Finite Element Method: An Overview. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2010; 84(3): 253-304.
https://doi.org/10.1002/nme.2914
[12] Azizpooryan, M., and Noormohammadi, N. Static Analysis of in-Plane Heterogeneous Laminated Composite Plates Using Equilibrated Basis Functions Based on FSDT. Journal of Computational Methods in Engineering. 2022; 40(1): 59-77.
https://doi.org/10.47176/jcme.40.1.6241
[13] Noormohammadi, N., and Boroomand, B. Construction of Equilibrated Singular Basis Functions without a Priori Knowledge of Analytical Singularity Order. Computers & Mathematics with Applications. 2017; 73(7): 1611-1626.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2017.02.004
[14] Bateniparvar, O., Noormohammadi, N., and MohammadSalehi, A. Solution of Harmonic Problems with Weak Singularities Using Equilibrated Basis Functions in Finite Element Method, Journal of Computational Methods in Engineering. 2022; 39(2): 119-146.
https://doi.org/10.47176/jcme.39.2.6242
[15] Ghorbani, M., Noormohammadi, N., and Boroomand, B. Enrichment of the Element Free Galerkin Method for Cracks and Notches without a Priori Knowledge of the Analytical Singularity Order. Computers & Mathematics with Applications. 2024; 162: 155-179.
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2024.03.007
[16] Pirhaji Kouzani, N., and Noormohammadi, N. Scaled Boundary Finite Element Method Coupled with Equilibrated Basis Functions for Heat Transfer Problems. Journal of Computational Methods in Engineering. 2023; 42(1): 105-123.
https://doi.org/10.47176/jcme.42.1.1005
[17] Lu, T.T., Hu H.Y., and Li Z.C. Highly accurate solutions of Motz’s and the cracked beam problems. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2004; 28: 1387-1403.
https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2004.03.005

تحت نظارت وف ایرانی